条件概率的一些结论以及理解

这周刚考完随机过程,考完以后也一直不太想学习,就顺便写写一些当时复习时的小结论以及课堂笔记,有不对的地方希望大家及时纠正。

这篇博客分享了一些与“条件概率”有关的结论和理解。先说结论:

条件概率常见结论

XYX、Y是随机变量,则有:

  1. E(g(X)h(Y)Y)=h(Y)E(g(X)Y)E(g(X)h(Y)|Y)=h(Y)E(g(X)|Y)
  2. E(XX)=XE(X|X)=X
  3. E(E(XY))=E(X)E(E(X|Y))=E(X)
  4. E(g(X)h(Y))=E(h(Y)E(g(x)Y))E(g(X)h(Y))=E(h(Y)E(g(x)|Y))
  5. E(E(XY,Z)YDj,ZDk)=E(XYDj,ZDk)E(E(X|Y,Z)|Y\in D_j,Z\in D_k)=E(X|Y\in D_j,Z\in D_k)
  6. E(E(XY,Z)Y)=E(XY)=E(E(XY)Y,Z)E(E(X|Y,Z)|Y)=E(X|Y) =E(E(X|Y)|Y,Z)

理解

  1. 针对结论一,左侧Y为条件,由于条件概率中的条件都是已知的、固定的,所以取期望时可以直接当做常数提出,所以,可以直接将h(Y)h(Y)提出期望符号,故有:E(g(X)h(Y)Y)=h(Y)E(g(X)Y)E(g(X)h(Y)|Y)=h(Y)E(g(X)|Y)

  2. 针对结论二,同理,由于条件概率中的条件都是已知的、固定的,所以取期望时可以直接当做常数提出,所以,可以直接将XX提出期望符号,后面是对1取条件期望,其结果仍为1,故有:E(XX)=XE(1X)=XE(X|X)=XE(1|X)=X

  3. 针对结论三,有两种理解方式:
    1)首先要知道:条件概率所得到的是条件的函数。因此E(X|Y)所得到的一定是Y的函数,所以E(E(X|Y))中外层的E再作用后,其效果便是直接将条件Y抹去,因此不难理解E(E(XY))=E(X)E(E(X|Y))=E(X)的结论。
    2)也可以看成“二重条件取交集”,内层E的条件为Y,外层E的条件中无条件,所以可以看为是关于条件Y的空集,两层条件取交集为Y的空集,所以得到的即为E(X)E(X)

  4. 针对结论四,双EE算子的常见结论,也是鞅论中推理证明的常用技巧。两种理解方法:
    1)推导的方法:将结论三中的X换为g(X)h(Y),可得有:E(E(g(X)h(Y)Y))=E(g(X)h(Y))E(E(g(X)h(Y)|Y))=E(g(X)h(Y));对结论一中等式两侧取均值有:E(E(g(X)h(Y)Y))=E(h(Y)E(g(X)Y))E(E(g(X)h(Y)|Y))=E(h(Y)E(g(X)|Y)),上述两等式左侧一样,所以有E(g(X)h(Y))=E(h(Y)E(g(X)Y))E(g(X)h(Y))=E(h(Y)E(g(X)|Y))
    2)理解的方法:该结论也可以从右向左看,将E(h(Y)E(g(X)Y))E(h(Y)E(g(X)|Y))h(Y)h(Y)拿入内层EE中也可得到左式。

  5. 针对结论五,可以看成二重条件取交集的理解方法,外层条件是YDj,ZDkY\in D_j,Z\in D_k,内层条件是Y,ZY,Z属于全集,所以取交集以后即为YDj,ZDkY\in D_j,Z\in D_k,所以有结论五。

  6. 针对结论六,先说左侧等式:E(E(XY,Z)Y)=E(XY)E(E(X|Y,Z)|Y)=E(X|Y),可以看成“二重条件取交集”,内层EE的条件为Y,ZY,Z,外层条件为YY,而ZZ为空集,所以两者取交集仅剩下YY。右侧等式同理。

综上所述,核心就是三点

  • 条件是固定的,是已知的,可以直接提出
  • 对有条件的事件取均值,得到的是该条件的随机函数
  • 二重条件取交集

所以,有了这些结论的基础,再去看鞅论的推导和证明会相对轻松一些。

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