素数与素性测试【Matrix67】

1. 素数的个数无限多(不存在最大的素数)
  证明:反证法,假设存在最大的素数P,那么我们可以构造一个新的数2 * 3 * 5 * 7 * ... * P + 1(所有的素数乘起来加1)。显然这个数不能被任一素数整除(所有素数除它都余1),这说明我们找到了一个更大的素数。

2. 存在任意长的一段连续数,其中的所有数都是合数(相邻素数之间的间隔任意大)
  证明:当0<a<=n时,n!+a能被a整除。长度为n-1的数列n!+2, n!+3, n!+4, ..., n!+n中,所有的数都是合数。这个结论对所有大于1的整数n都成立,而n可以取到任意大。

3. 所有大于2的素数都可以唯一地表示成两个平方数之差。
  证明:大于2的素数都是奇数。假设这个数是2n+1。由于(n+1)^2=n^2+2n+1,(n+1)^2和n^2就是我们要找的两个平方数。下面证明这个方案是唯一的。如果素数p能表示成a^2-b^2,则p=a^2-b^2=(a+b)(a-b)。由于p是素数,那么只可能a+b=p且a-b=1,这给出了a和b的唯一解。

4. 当n为大于2的整数时,2^n+1和2^n-1两个数中,如果其中一个数是素数,那么另一个数一定是合数。
  证明:2^n不能被3整除。如果它被3除余1,那么2^n-1就能被3整除;如果被3除余2,那么2^n+1就能被3整除。总之,2^n+1和2^n-1中至少有一个是合数。

5. 如果p是素数,a是小于p的正整数,那么a^(p-1) mod p = 1。
  这个证明就有点麻烦了。
    首先我们证明这样一个结论:如果p是一个素数的话,那么对任意一个小于p的正整数a,a, 2a, 3a, ..., (p-1)a除以p的余数正好是一个1到p-1的排列。例如,5是素数,3, 6, 9, 12除以5的余数分别为3, 1, 4, 2,正好就是1到4这四个数。
    反证法,假如结论不成立的话,那么就是说有两个小于p的正整数m和n使得na和ma除以p的余数相同。不妨假设n>m,则p可以整除a(n-m)。但p是素数,那么a和n-m中至少有一个含有因子p。这显然是不可能的,因为a和n-m都比p小。
    用同余式表述,我们证明了:
(p-1)! ≡ a * 2a * 3a * ... * (p-1)a (mod p)
    也即:
(p-1)! ≡ (p-1)! * a^(p-1) (mod p)
    两边同时除以(p-1)!,就得到了我们的最终结论:

1 ≡ a^(p-1) (mod p)

 可惜最后这个定理最初不是我证明的。这是大数学家Fermat证明的,叫做Fermat小定理(Fermat's Little Theorem)。Euler对这个定理进行了推广,叫做Euler定理。Euler一生的定理太多了,为了和其它的“Euler定理”区别开来,有些地方叫做Fermat小定理的Euler推广。Euler定理中需要用一个函数f(m),它表示小于m的正整数中有多少个数和m互素(两个数只有公约数1称为互素)。为了方便,我们通常用记号φ(m)来表示这个函数(称作Euler函数)。Euler指出,如果a和m互素,那么a^φ(m) ≡ 1 (mod m)。可以看到,当m为素数时,φ(m)就等于m-1(所有小于m的正整数都与m互素),因此它是Fermat小定理的推广。定理的证明和Fermat小定理几乎相同,只是要考虑的式子变成了所有与m互素的数的乘积:m_1 * m_2 ... m_φ(m) ≡ (a * m_1)(a * m_2) ... (a * m_φ(m)) (mod m)。


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